Kazimierz Kuratowski, La fondazione dell’infinito

Kuratowski PoloniCult

Presentazione di Kazimierz Kuratowski, esponente del pensiero matematico polacco del Novecento.

di Roberto Reale

Nel periodo tra le due guerre la Polonia conosce una fioritura senza precedenti nella ricerca matematica. Uomini come Stefan Banach, Kazimierz Kuratowski, Stanisław Ulam, Wacław Sierpiński, per citare solo alcuni nomi, contribuiscono a riedificare su basi più solide “pezzi” cruciali della matematica contemporanea, non soltanto permettendo il superamento di quella crisi dei fondamenti conseguente al naufragio del programma di Hilbert, ma anticipando l’immenso impulso espansivo che discipline quali la teoria degli insiemi, la topologia generale, l’analisi funzionale, ed altre ancora, conosceranno nel secondo dopoguerra.

David Hilbert, prendendo le mosse da un’impostazione ancora positivista, aveva cercato di fondare l’intera matematica su un sistema di assiomi che fosse non contraddittorio, dunque vero in senso “assoluto”. Un programma che entrò presto in crisi, e la cui condanna definitiva fu sancita dai due celebri teoremi di incompletezza che Kurt Gödel dimostrò nel 1931. Per uscire dall’impasse occorreva prendere coscienza delle limitazioni intrinseche in qualsiasi sistema formale, e dedicarsi a costruire fondamenta solide e adeguatamente generali a quelle discipline che raccoglievano l’eredità degli ultimi decenni dell’Ottocento e diventeranno poi a loro volta la base per gli sviluppi futuri.

Espandendosi dialetticamente tra i due grandi poli di Lwów e di Varsavia, la ricerca matematica in Polonia si dedica specialmente allo sviluppo della teoria degli insiemi e della topologia generale, due discipline che chiedono a chi le coltiva slanci arditissimi del pensiero astratto. Di certo non è estranea a questa scelta la direzione degli studi filosofici allora dominante in Polonia, così come la vocazione di molti, in quegli anni, a frequentare con uguale fortuna la matematica e la filosofia.

La topologia generale (topologia ogólna in polacco, point-set topology in inglese), detta anche, con voce desueta, analysis situ, è una estrema generalizzazione della geometria “classica”, in cui le nozioni di misura ed angolo vengono progressivamente diluite fino a dissolversi in relazioni assai più deboli, che tuttavia permettono di pensare, in contesti in cui non è possibile applicare le “ipotesi” classiche e che sono poi i più diffusi, quelli che Alain Badiou chiama “les agencements spatiaux”: la vicinanza, l’interno e l’esterno, le connessioni, l’essere aperto o chiuso, e così via (Alain Badiou, Gilles Haéri, Eloge des mathématiques, Paris, 2015). Il vantaggio di adottare un approccio tanto generale è che i “punti” possono essere avere natura quasi arbitraria: funzioni, oggetti di “categorie”, stringhe di caratteri (recuperando in questo caso una nozione di distanza come numero di operazioni di editing); gli strumenti di questa “geometria” possono pertanto applicarsi a una grandissima quantità di scenari distinti.

Raccogliendo l’eredità dei lavori di Maurice Fréchet sui tipi di dimensioni (L. C. Arboleda, Les Recherches de M. Fréchet, P. Alexandrov, W. Sierpinski et K. Kuratowski sur la Théorie des Types de Dimensions et les Débuts de la Topologie Générale, in Archive for History of Exact Sciences, vol. 24, no. 4, 1981, pp. 339–388), Kazimierz Kuratowski è tra i primi a dare una fondazione del tutto generale alla topologia, sfruttando non la nozione di convergenza di successioni, bensì l’algebra booleana che governa le unioni e le intersezioni di famiglie (non necessariamente finite) di sottoinsiemi.

KuratowskiKuratowski nacque a Varsavia il 2 febbraio 1896. Dopo molte vicissitudini dovute alla difficile situazione politica della Polonia (in quegli anni stato-fantoccio sotto il controllo dell’impero russo), egli assunse nel 1927 la docenza a Lwów, cuore della Galizia e fulcro di una scuola estremamente attiva. Stanisław Ulam, che è matricola in quello stesso anno e che poi con Kuratowski discuterà nel 1933 la tesi di dottorato, ne ricorda non soltanto la rara chiarezza dell’esposizione, ma la generosità e gli incoraggiamenti verso i discepoli (S. Ulam, Adventures of a Mathematician, University of California Press, 1991). Dopo le lezioni, ci si riuniva nell’atmosfera suggestiva del Caffè Scozzese (Anna Legierska, Geniusze i romantycy. Matematycy z kawiarni Szkockiej, in Culture.pl, 28 novembre 2014), in via dell’Accademia (oggi prospettiva Ševčenko): il marmo dei tavolini offriva un ottimo supporto per scrivere.

Nel 1934 Kuratowski torna a Varsavia, dove terrà la cattedra, pur con un’interruzione durante la guerra, fino al 1965. La sua produzione scientifica è vastissima, e conta 172 articoli scientifici (diversi dei quali scritti anche dopo il ritiro dalla docenza), due trattati e due libri di testo, questi ultimi tradotti e diffusi in tutto il mondo (Ryszard Engelking, Kazimierz Kuratowski, in Handbook of the History of General Topology, vol. 2, Kluwer Academic Publishers, 1998). Oltre alla docenza, va ricordata la sua attività presso l’Accademia delle Scienze della Polonia, del cui Istituto di Matematica egli fu direttore dal 1949 al 1967: cruciale per la rinascita della didattica dopo la tragedia bellica, e poi per la promozione della ricerca e delle relazioni scientifiche in ambito internazionale. Presso l’Istituto di Matematica egli continuò a lavorare fino alla morte, improvvisa, il 18 giugno 1980.

Kuratowski

Coronamento delle ricerche di Kuratowski, nonché uno degli esiti più alti della scuola di Varsavia, sono i due volumi della Topologie (disponibili in rete qui e qui): opera che appartiene a pieno titolo non soltanto a un ideale “canone” del pensiero filosofico-matematico universale, ma alla storia letteraria, per la perfetta fusione tra la materia trattata e l’eleganza dello stile, ridotto alla misura perfetta di una concisione che è possibile soltanto a chi per intero rem tenet. Sarebbe indagine di grande interesse stabilire se la scelta della lingua francese, che peraltro accompagna tutta la produzione scientifica di Kuratowski e cede il posto al polacco soltanto quando si tratta di scritti di carattere più personale (K. Kuratowski, Notatki do autobiografii, Czytelnik, Warszawa, 1981), sia stata dettata soltanto da considerazioni di “visibilità”, e non abbia invece in qualche modo strutturato un modus pensandi. In ogni caso, un testo pur così fondamentale come la Topologie non è impervia neppure al lettore che sia digiuno di matematiche, perché, svolgendo la disciplina dai suoi fondamenti primi, unifica in modo mirabile le ragioni intrinseche della disciplina e un espresso intento pedagogico.

A Kuratowski dobbiamo ancora un risultato fondativo della matematica contemporanea, che a sua volta fa da base a teoremi di importanza cruciale quali, ad esempio, il teorema di Hahn-Banach in analisi funzionale (“ogni funzionale lineare e limitato definito su un sottospazio di uno spazio vettoriale può estendersi all’intero spazio”), il Kuratowskiteorema di Tychonoff in topologia generale (“il prodotto di spazi topologici compatti è anch’esso compatto”), o, in algebra, il teorema che garantisce che ogni anello commutativo contiene un ideale massimale. Il risultato di cui parliamo va oggi sotto il nome di lemma di Kuratowski-Zorn, perché dimostrato inizialmente da Kuratowski nel 1922 (K. Kuratowski, Une méthode d’elimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques, in Fundamenta Mathematicae, 3.1, 1922, p. 76-108) e dimostrato poi indipendentemente, in forma più generale, da Max Zorn nel 1935. Cruciale è pure l’equivalenza (nella “versione standard” della teoria degli insiemi, detta ZF perché dovuta a Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel) del lemma di Kuratowski-Zorn con il cosiddetto assioma della scelta: ossia la possibilità, data una famiglia anche infinita di insiemi non vuoti, di scegliere contemporaneamente un elemento per ogni insieme: in termini più rigorosi,

\( \forall X \left[ \emptyset \notin X \Rightarrow \exists f \colon X \rightarrow \bigcup X \quad \forall A \in X \, ( f(A) \in A ) \right] \,. \)

L’assioma della scelta (che indicheremo con C) va enunciato a parte rispetto agli altri assiomi della teoria ZF, perché questi ultimi non permettono di dimostrare né C (lo provò Kurt Gödel) né la sua negazione (fu Paul Cohen a dimostrarlo). L’equivalenza di C e del lemma di Kuratowski-Zorn significa che nella dimostrazione di quest’ultimo C è un ingrediente essenziale: ossia che, assumendo il lemma come assioma senza fare alcuna ipotesi sulla validità di C, dal lemma stesso è possibile ricavare C.

Il lemma di Kuratowski-Zorn può anche essere usato per dimostrare alcuni risultati che sembrerebbero contraddire l’intuizione, come l’esistenza di un insieme limitato ma non misurabile (nel senso di Lebesgue) di numeri reali, oppure il celebre paradosso di Banach-Tarski: una sfera chiusa nello spazio euclideo tridimensionale è equiscomponibile a due copie di se stessa, dove, informalmente, chiamiamo equiscomponibili due insiemi di punti dello spazio se è possibile partizionarli nello stesso numero (finito) di “pezzi” tra di loro congruenti rispetto a un certo gruppo di trasformazioni. Non inganni qui l’uso della designazione “paradosso”: si tratta di un risultato rigoroso (sebbene controintuitivo) il quale mostra semplicemente che non è possibile avere una nozione di “misura” che sia compatibile con le classiche trasformazioni della geometria euclidea e che nello stesso tempo sia applicabile a tutti gli insiemi di punti dello spazio. Tuttavia, alcune correnti “costruttiviste” in seno alla matematica hanno voluto vedere in conseguenze di questo tipo la “prova” che il lemma di Kuratowski-Zorn, così come l’assioma della scelta ad esso equivalente, non sarebbe accettabile nella sua forma generale (Per Martin-Löf, 100 years of Zermelo’s axiom of choice: what was the problem with it?, in The Computer Journal, 49 (3), 2006, pp. 345-350). In ogni caso, non è esagerato dire che senza il lemma di Kuratowski-Zorn, nelle sue varie formulazioni, gran parte dell’algebra e dell’analisi funzionale non potrebbero esistere (Volker Runde, A Taste of Topology, Springer-Verlag, New York, 2005), e la matematica sarebbe ferma al principio del secolo scorso.

A coronamento di questa breve presentazione della vita e dell’opera di Kazimierz Kuratowski vogliamo cimentarci con l’enunciato (in termini contemporanei) e con un accenno alla dimostrazione del lemma di Kuratowski-Zorn. L’enunciato si può formulare come segue: Sia \(P\) un insieme (parzialmente) ordinato con la proprietà che ogni catena in \(P\) è dotata di maggiorante. Allora \(P\) contiene almeno un elemento massimale. In termini meno rigorosi, se in un insieme \(P\) in cui sia definita una relazione d’ordine parziale (ad esempio, la relazione di divisibilità tra i numeri interi) ogni catena \(C\), cioè ogni parte totalmente ordinata, è dotata di un elemento che supera tutti gli elementi di \(C\) (un maggiorante di \(C\)), allora in \(P\) esiste un elemento massimale, vale a dire un elemento \(b \in P\) tale che non esista in P alcun \(a\) strettamente più grande di \(b\).

Procedendo per assurdo, supponiamo il lemma falso, ossia neghiamone la tesi: questo significa che esiste un insieme (parzialmente) ordinato \(P\) tale che ogni catena in \(P\) possieda un maggiorante, e tuttavia \(P\) sia privo di elementi massimali, ossia per ogni elemento \(a \in P\) esista un \(b\) (strettamente) più grande di \(a\). In altri termini, se \(C\) è una catena in \(P\) allora possiamo trovare un elemento \(b(C)\) più grande di tutti gli elementi di \(C\) (un maggiorante di \(C\)): siccome si tratta di scegliere un siffatto \(b(C)\) contemporaneamente per tutte le catene \(C\), facciamo intervenire l’assioma della scelta che ci garantisce la liceità dell’operazione. Otteniamo in tal modo una funzione \(b\), grazie alla quale possiamo definire (ricorsivamente, o più precisamente usando un procedimento noto come induzione transfinita) elementi \(a_0 < a_1 < a_2 < \ldots < a_n < \ldots\), prendendo \(a_0\) in modo arbitrario (\(P\) è non vuoto in quanto l’insieme vuoto, che è una catena, per ipotesi possiede un maggiorante) e poi, per ogni ordinale \(w\),

\(a_w = b(\{a_v \mid v < w\})\,.\)

La “successione” così ottenuta è talmente “lunga” (ha per “indici” tutti i numeri ordinali) da esaurire gli elementi di \(P\), per quanto “grande” \(P\) sia. Otteniamo allora una contraddizione, da cui segue, per reductio ad absurdum, la validità della tesi.

Kuratowski

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